Решил только треть задачи, устал, залез сцуко в яндекс. Даже ответ втыкнуть непросто ))) Зачетная задача.

17 августа

Как пришли к решению?

16 июля

17 июня.
(1) После того как определен месяц, исключаются 19 мая и 18 июня как однозначно определяемые по дате. При этом в июне остается всего одна дата.
(2) После этого остается единственная дата, определяемая точно ( с учетом пункта 1) - 17 июня.
Так как Бернард заявил, что знает дату, от и Альберту становится все ясно.

Прочитал собственный комментарий, понял, что невнятно объяснил.
Пункт 1 - вывод делается на основании заявления, что никто не знает, тогда исключаются две упомянутые даты.

Дат всего 10, а дни находятся в промежутке от 14 до 19. При этом только 18 и 19 числа встречаются по одному разу. Если день рождения Шерил 18-го или 19-го, то Бернард сразу бы мог сказать и месяц.

Но откуда Альберт знает, что Бернард не знает ответа? Если Шерил сказала Альберту, что родилась в мае или июне, значит, её день рождения может быть 19 мая или 18 июня. При таком раскладе Бернард может знать, когда у Шерил день рождения. Факт, что Альберт точно знает о том, что Бернард не знает ответа, говорит о том, что май и июнь можно исключить, а Шерил родилась либо в июле, либо в августе.

Изначально Бернард не знал, когда день рождения у Шерил. Каким образом он узнал ответ после реплики Альберта? Из оставшихся пяти дат в июле и августе, варьирующихся от 15 до 17, только 14 встречается дважды. Если Шерил сказала бы Бернарду, что день её рождения 14-го, значит Бернард после предположения Альберта всё ещё не мог бы дать точного ответа. Тот факт, что он сразу всё понял, говорит о том, что Шерил родилась не 14-го. Остаются три возможные даты: 16 июля, 15 августа и 17 августа.

После того, как Бернард заговорил, Альберт узнал, когда у Шерил день рождения. Если бы она сказала ему, что родилась в августе, Альберт не мог бы знать точного ответа, потому что из трёх оставшихся дат две приходятся на август. Значит, Шерил родилась 16 июля.

17 June